Теорема о неполноте и ее доказательство утверждает примерно следующее: при определенных условиях в любом языке существуют истинные, но недоказуемые утверждения.

Всякий раз, когда мой учитель формальный математики заводил речь о теореме Гёделя и теории ошибки, как проявлении через «бессознательное» истинного Я, связанного с миром индивидуальных неосознанных желаний, мысль моя, коснувшись "фармацеи Платона", вышвыривалась к платоновской саге про тождественное и иное… Подобно тому, как плохо крякнутая, не лицензионная компьютерная игрушка постоянно вылетает на рабочий стол.  Её положения, мысли, в свою очередь, берали законченные было формосмыслы правого полушария  моего головного мозга и, фрагментируя это, высыпали продукт в левое полушарие для повторного анализа и синтеза, точно в соответствии с моделью распределения функций полушарий мозга, описанной в книге В. В. Иванова "Чёт и нечет".

При этом я обнаруживал странные вещи. Тождественное и иное в исходной форме, будучи представлены, как дихотомия, оказывались явно конгруэнтны при  вторичном моделировании.

Попробовав разобраться с потоком этого «бессознательного», я применил ОШИБКУ как ПРОВОКАЦИЮ и допустил САМООНАЛИЗ, что должно было бы явиться той самой постмодернистской СПЕКУЛЯЦИЕЙ, о которой так долго было принято говорить в франко-ориентированных кругах российской научной интеллигенции.

Проявляя нарочитую глупость, я сделал над собой эксперимент и попытался уловить истинную мотивацию своих желаний в мутном потоке собственного бессознательного - без кавычек!  

Я задал себе вопросы: почему я это пишу, почему я здесь нахожусь и тождественное ли я или иное?..

Результаты превзошли все мои ожидания.

Поразительное открытие, сделанное мной, оказалось следующим: тождественное -  это линейный поток адекватного самому себе сознания, а иное - это всегда ошибка, связанная с деятельностью бессознательного. Причём тождественное и иное суть различны лишь в лингвистическом плане и при выборе инструмента, с помощью которого они открываются.

Итак, растворим в пространстве образ Платона, принёсшего столько горя разумному человечеству (по некоторым, известным нам мнениям), и вернёмся к существовавшим, в общем - то и до него, концептам ошибки и нормы или иного и тождественного. - Что же в представленном есть Я – собственно Я?..

Исходя из вопроса, можно заключить, что автору этого эссе не свойственно страдать ложной скромностью, однако, это есть вывод линейного сознания, связывающий меня, как тождественное, с мне подобными; но есть и другой ход, при котором может выглядеть аксиоматически ясным то, что проведя над собой эксперимент, я завещаю скелет своего Я науке, и тут уже, в результате этой полнейшей глупости, становлюсь иным...

Теперь  приступаю к изложению и рассмотрению деталей.

То, что Я – Великий Магистр и пишу здесь эту работу, рассмотрим как чудовищную ошибку, проявленную через множество далеко ненатуральных величин, состоящих, кстати, из весьма банальных, в своей натуральности, параметров. Это, например, мой рост, вес, возраст, путь, деятельность, наборы информаций, которыми я владею, наборы социально обусловленных  реакций в конце концов… Всё это то, что проявляет меня абсолютно не тождественным выполняющей  тождественные действия, группе поля, в котором действие происходит. Я являюсь иным и по целям присутствия в процессе, которые, в первую очередь и для меня самого, эти цели, являются абсолютной и неразрешимой загадкой. Каждый видит цель своего будущего в будущем. Я же вижу все свои цели будущего в прошлом. Вот, главная характеристика меня, как иного.

Чем же является стремление без цели?

 – Глупостью!

 А чем же является глупость? Как мы уже выяснили в нашем математическом курсе, ошибкой (что подтверждается документально)! Если моё стремление является ошибкой, значит, ей движет бессознательное, т. е. проявление моего истинного, сексуального Я, что также было утверждено в философском блоке нашего математического курса на основании известных работ Зигмунда Фрейда.

Вместе с тем, в результате прослушанного курса и прочтения (не всех, конечно) текстов Фридриха Ницше, Жака Деррида, Мартина Хайдеггера, Жиля Делёза, ну и, конечно, Мишеля Фуко, я обречён был прийти  к убеждению в том, что зависимость от сознания есть болезнь, а выпущенная воля бессознательного - это  естественное состояние не скованного внешними обстоятельствами (властью, устоями, традицией, тоталитарным режимом, экзаменами и контрольными работами) человеческого существа. Но если это так, то моё присутствие здесь и написание данной работы, являются, как ничто другое, истинной нормой естественной бессознательной глупости, сулящей дать неожиданные, а значит, уже значимые и полезные результаты. Что же касается присутствия в поле процесса всех остальных - это, разумеется, чудовищная ошибка! Так, в ходе эксперимента, я выяснил, что тождественное конгруэнтно иному, и может им и является. А ошибка, таким образом, не что иное, как норма - и наоборот. Осталось только доказать, что сознание - это и есть бессознательное, но сие уже выходит за рамки моего эксперимента в область психоаналитических исследований.

В этой моей, достаточно сложной, непротиворечивой теории, существует не одно утверждение, которое средствами самой теории невозможно ни доказать, ни опровергнуть. Например, утверждение о конгруэнтности тождественного и иного при вторичном моделировании. Его можно добавить к системе аксиом, оставив  непротиворечивым. При этом, для новой теории (с увеличенным количеством аксиом) также будет существовать недоказуемое и неопровержимое утверждение.

Изложенная теорема была доказана не мной, а Куртом Гёделем в 1931 году и являлась первой теоремой о неполноте. В оригинальном изложении, она звучала так:

Во всякой достаточно богатой непротиворечивой теории первого порядка (в частности, во всякой непротиворечивой теории, включающей формальную арифметику), существует такая замкнутая формула F, что ни F, ни - F не являются выводимыми в этой теории.

Вторая теорема Гёделя о неполноте также может быть проиллюстрирована моим экспериментом. Потому что непротиворечивость достаточно богатой моей теории не может быть доказана средствами этой теории. Однако вполне может оказаться, что непротиворечивость её  может быть установлена средствами другой, более мощной формальной теории. Но тогда встаёт вопрос о непротиворечивости этой второй теории, и т. д.

На языке оригинала, вторая теорема Гёделя звучит так:

Во всякой достаточно богатой непротиворечивой теории первого порядка (в частности, во всякой непротиворечивой теории, включающей формальную арифметику), формула, утверждающая непротиворечивость этой теории, не является выводимой в ней.

Эти теоремы имели значительные последствия как для математики, так и для философии. В эти последствия следует сделать некоторый экскурс. 

В 1931 году Курт Гёдель совершил открытие, сделавшее его знаменитым. В то время Давид Гильберт и другие великие ученые пытались свести всю математику к системе аксиом. Но Гедель доказал, что это не совсем реально.

В 1932 году появилась теорема Гёделя. Из теоремы Гёделя следует, что не существует полной формальной теории, где были бы доказуемы все истинные теоремы арифметики.

Работа Гёделя произвела эффект разорвавшейся бомбы. Она заставила фон Неймана прервать курс лекций в Геттингене, а Гильберта - прекратить работу над своей программой.

По утверждению Гёделя, состоятельность и полноту какой-либо логической системы невозможно доказать с помощью вспомогательных средств самой этой системы. Можно, конечно, привлечь для доказательства методы более мощной системы, но сама эта более мощная система также не может доказать свою непротиворечивость своими методами, а значит, требуется следующая более мощная система…

В 1900 году в Париже шла Всемирная конференция математиков, на которой Давид Гильберт (David Hilbert, 1862–1943) изложил в виде тезисов сформулированные им 23 наиважнейшие, по его мнению, задачи, которые предстояло решить ученым-теоретикам наступающего ХХ века. Под вторым номером в его списке значилась одна из тех простых задач, ответ на которые кажется очевидным, пока не копнешь немножечко глубже. Говоря современным языком, это был вопрос: самодостаточна ли математика? Вторая задача Гильберта сводилась к необходимости строго доказать, что система аксиом — базовых утверждений, принимаемых в математике за основу без доказательств, — совершенна и полна, то есть позволяет математически описать всё сущее. Надо было доказать, что можно задать такую систему аксиом, что они будут, во-первых, взаимно непротиворечивы, а во-вторых, из них можно вывести заключение относительно истинности или ложности любого утверждения.

В стандартной Евклидовой планиметрии (геометрии на плоскости) можно безоговорочно доказать, что утверждение «сумма углов треугольника равна 180°» истинно, а утверждение «сумма углов треугольника равна 137°» ложно. Если говорить по существу, то в Евклидовой геометрии любое утверждение либо ложно, либо истинно, и третьего не дано. В начале ХХ века математики наивно полагали, что такая же ситуация должна наблюдаться в любой логически непротиворечивой системе.

Курт Гёдель же, после долгих и сложных математико-теоретических преамбул,  попросту доказал следующее удивительное свойство любой системы аксиом:

«Если можно доказать утверждение A, то можно доказать и утверждение не-A».

То есть, возвращаясь к формулировке второй задачи Гильберта, если система аксиом полна (то есть любое утверждение в ней может быть доказано), то она противоречива.

Единственным выходом из такой ситуации остается принятие неполной системы аксиом. То есть, приходится мириться с тем, что в контексте любой логической системы у нас останутся утверждения «типа А», которые являются заведомо истинными или ложными, — и мы можем судить об их истинности лишь вне рамок принятой нами аксиоматики. Если же таких утверждений не имеется, значит, наша аксиоматика противоречива, и в ее рамках неизбежно будут присутствовать формулировки, которые можно одновременно и доказать, и опровергнуть.

Итак, формулировка первой теоремы Гёделя о неполноте: «Любая формальная система аксиом содержит неразрешенные предположения». Но на этом Гёдель не остановился, сформулировав и доказав вторую теорему о неполноте: «Логическая полнота (или неполнота) любой системы аксиом не может быть доказана в рамках этой системы. Для ее доказательства или опровержения требуются дополнительные аксиомы (усиление системы)».

Спокойнее было бы думать, что теоремы Гёделя носят отвлеченный характер и касаются не нас, а лишь областей возвышенной математической логики, однако, экспериментальным путём фактически доказывается, что они напрямую связаны с устройством человеческого мозга, что я и продемонстрировал в своём эксперименте.  Английский математик и физик Роджер Пенроуз (Roger Penrose, р. 1931), ещё задолго до меня, работал с этой темой и показал, как теоремы Гёделя можно использовать для доказательства наличия принципиальных различий между человеческим мозгом и компьютером. Смысл рассуждений Пенроуза прост. Компьютер действует строго логически и не способен определить, истинно или ложно утверждение А, если оно выходит за рамки аксиоматики, а такие утверждения, согласно теореме Гёделя, неизбежно имеются. Человек же, столкнувшись с таким логически недоказуемым и неопровержимым утверждением А, всегда способен определить его истинность или ложность — исходя из повседневного опыта и, определив его, - допустить ошибку. По крайней мере, в этом человеческий мозг превосходит компьютер, скованный чистыми логическими схемами. Человеческий мозг способен понять всю глубину истины, заключенной в теоремах Гёделя, а компьютерный — никогда. Следовательно, человеческий мозг представляет собой что угодно, но не просто компьютер. Он способен принимать решения, но самое главное, он способен на самую неожиданную для самого себя ошибку, поэтому и тест Тьюринга мой лично мозг пройдет успешно, чем будет доказано, что я не компьютер, а вот касательно остальных - это представляет собой, пока, научную дилемму, разрешить которую можно лишь экспериментальным путём.

Интересно, догадывался ли Гёдель, как далеко заведут науку его теоремы?

Ведь если и компьютер сможет работать так, что человек не в состоянии будет определить, с кем он общается - с другим человеком или с машиной - можно считать, что он, компьютер, прошел тест Тьюринга и стал человеком. Отсюда недалеко и до начала процесса общественной борьбы за права этого Нового человека…

Разумные, подобные человеку машины на протяжении многих десятилетий были одной из основных тем научно-фантастических произведений. С момента зарождения современной вычислительной техники умы человечества занимал вопрос: можно ли построить машину, которая могла бы в чем-то или во всём заменить человека? Попыткой создать твердую эмпирическую почву для решения этого вопроса и стал тест, разработанный в 1950 году Аланом Тьюрингом.

Современная версия теста Тьюринга представляет собой следующее задание. Группа экспертов общается с неизвестным существом. Они не видят своего собеседника и могут общаться с ним только через какую-то изолирующую систему — например, клавиатуру. Им разрешается задавать собеседнику любые вопросы, вести разговор на любые темы. Если в конце эксперимента они не смогут сказать, общались ли они с человеком или с машиной, и если на самом деле они разговаривали с машиной, можно считать, что эта машина прошла тест Тьюринга.

Нет нужды говорить, что сегодня ни одна машина не может даже близко подойти к тому, чтобы пройти тест Тьюринга, хотя некоторые из них весьма неплохо работают в очень ограниченной области. Предположим, тем не менее, что в один прекрасный день машина все-таки сможет пройти этот тест. Будет ли это означать, что она разумна и обладает интеллектом?

Джон Р. Сёрль (John R. Searle, р. 1932), преподаватель философии Калифорнийского университета в Беркли, разработал воображаемую систему, которая показывает, что ответ на этот вопрос отрицательный. Эта система под названием «Китайская комната» работает следующим образом. Вы сидите в комнате. В стене этой комнаты есть две щели. Через первую щель вам передают вопросы, написанные по-китайски. (Предполагается, что вы, как и Джон Сёрль, не знаете китайского. Если это не так, выберите какой-нибудь другой язык, неизвестный вам.) Затем вы просматриваете книги с инструкциями типа: «Если вы получили такой-то набор символов, напишите на листке бумаги такой-то (отличный от исходного) набор символов и передайте его обратно через другую щель».

Ясно, что если книги с инструкциями достаточно полны, «машина», состоящая из вас и комнаты, сможет пройти тест Тьюринга. При этом очевидно, что вам совсем не обязательно понимать, что вы делаете. По мнению Сёрль, это показывает, что даже если машина прошла тест Тьюринга, это еще не значит, что она разумна и обладает интеллектом. Проблема «борьбы за права» снята…

На этой оптимистической ноте мне и хотелось бы закончить своё эссе, однако, я не могу этого сделать,  пока не обнародую одну страшную тайну, т.к. считаю это своим долгом перед наукой. Поскольку мной уже принято решение о передаче скелета своего Я, и терять мне больше нечего, открою, что ночью, в результате моих экспериментов с бессознательным, ко мне явился дух Курта Гёделя и сообщил свою третью, последнюю теорему, написанную им уже в сумасшедшем доме, перед самой смертью. Тогда, её никто не пожелал услышать не потому, что об этом кричал больной в предсмертном состоянии, и не потому, что рядом не нашлось хоть сколько–нибудь образованного человека, а потому, что она была страшна, и гораздо страшнее первых двух по своим возможным последствиям, и даже санитары, услышав её, тут же сами стали пациентами, подобно первым апостолам в известной нам библейской истории.

Так вот, теорема звучала следующим образом:

Ни один абсурд нельзя не подтвердить, ни опровергнуть. Потому, что опровергать возможно лишь логичное, а подтвердить абсурд нельзя, т.к. в нём присутствует элемент недостаточности.

Если можно доказать утверждение А и не-А, то никаким образом не является возможным доказательство сверх-А, хотя сверх-А равно и А и не-А.

Я долго думал над этими словами великого учёного…  Я искал антипод к термину «абсурд»… Что это: смысл, гармония, логика, порядок?... Я не нашёл антипода…

Призрак сказал, что пришёл к своей третьей теореме после продолжительных бесед с Фридрихом Ницше.

Литература:

Ницше Ф. Полное собрание сочинений: В 13 томах / Пер. с нем. В. М. Бакусева; Ред. совет: А. А. Гусейнов и др.; Ин-т философии РАН. — М.: Культурная революция, 2005.

Статья в журнале «Знание-сила» о Гёделе http://www.znanie-sila.ru/online/issue_3160.html

Глава 8 п.3 книги А.К. Сухотина «Философия Математики» о работах Гёделя http://www.philsci.univ.kiev.ua/biblio/Philmath/73.htm

Сёрль, Джон Роджерс. Статья: «Is the Brain’s Mind a Computer Program?» («Разум мозга — компьютерная программа?»), опубликованной в 1980 году (цитируется по тексту журнала «В мире науки», 1990, № 3, с. 7-13).

Тьюринг, Алан Матисон. Сстатья: «Вычислительные машины и разум» (англ. Computing Machinery and Intelligence). 1950 г.

Роджер Пенроуз "Тени разума. В поисках науки о сознании". Издательство            Институт компьютерных исследований. 2005.         

Роджер Пенроуз "Новый ум короля. О компьютерах, мышлении и законах физики - 3 изд."  Издательство ЛКИ . 2008.

Псевдо-Евклид. Деление канона. /Пер. А. И. Щетникова, опубликованный в кн. «Пифагорейская гармония: исследования и тексты». Новосибирск: АНТ, 2005, с. 81-96.

Д. Гильберт, С. Кон-Фоссен, Наглядная геометрия, М.-Л., ОНТИ, 1936.

Давид Гильберт, Основания геометрии, Л., "Сеятель", 1923.

Фуко М. Ненормальные: Курс лекций, прочитанных в Коллеж де Франс в 1974—1975 учебном году. — СПб.: Наука, 2004.

Делёз Ж.. Платон и симулякр. Пер. Е.А. Наймана // Интенциональность и текстуальность. Философская мысль Франции XX века. Томск, 1998. С. 225.

М. Хайдеггер. Учение Платона об истине // Историко-философский ежегодник. 1986. М.: Наука, 1986, с. 255-275.

М. Хайдеггер. Ницше и пустота / Сост. О. В. Селин. - М.: Алгоритм : Эксмо, 2006.

Деррида Ж.. Голос и феномен и другие работы по теории знака Гуссерля. / Пер. с фр. С.Г.Калининой и Н.В.Суслова, Серия Gallicinium, Спб. Алетейя 1999г. 208 с.

Деррида Ж.. Фармацея Платона. М. РГГУ . 2005.

Фрейд З. Остроумие и его отношение к бессознательному (1905). Азбука. 2005.